Интегралы: Определение и Интегрирование

f(x) = 3x^2 функциясының [1, 4] интервалындағы анықталған интегралын анықтаңыз.

• 63

• 50

• 72

• 45

Answer explanation

Чтобы найти определенный интеграл функции f(x) = 3x^2 на интервале [1, 4], вычисляем: \int_1^4 3x^2 dx = [x^3]_{1}^{4} = 4^3 - 1^3 = 64 - 1 = 63. Правильный ответ: 63.

∫ sin(x) dx интегралын есептеңіз.

• tan(x) + C

• sin(x) + C

• -cos(x) + C

• -sin(x) + C

Answer explanation

Интеграл функции sin(x) равен -cos(x) + C. Это связано с тем, что производная -cos(x) возвращает sin(x). Поэтому правильный ответ: -cos(x) + C.

f(x) = x^3 функциясының [0, 2] интервалындағы анықталған интегралын табыңыз.

• 2

• 8

• 4

• 6

Answer explanation

Чтобы найти определенный интеграл функции f(x) = x^3 на интервале [0, 2], вычисляем: \int_0^2 x^3 dx = [\frac{x^4}{4}]_0^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} = 4. Правильный ответ: 4.

∫ cos(2x) dx интегралын есептеңіз.

• (1/4) sin(2x) + C

• (1/2) sin(2x) + C

• sin(2x) + C

• (1/2) cos(2x) + C

Answer explanation

Чтобы вычислить интеграл ∫ cos(2x) dx, используем замену u = 2x, тогда du = 2dx, и dx = du/2. Интеграл становится (1/2) ∫ cos(u) du = (1/2) sin(u) + C = (1/2) sin(2x) + C. Правильный ответ: (1/2) sin(2x) + C.

f(x) = 1/x функциясының [1, e] интервалындағы анықталған интегралын анықтаңыз.

• 1

• 0

• 2

• ln(e)

Answer explanation

Определенный интеграл от f(x) = 1/x на интервале [1, e] равен ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1. Поэтому правильный ответ - 1.

Интеграл ∫ (2x + 3)/(x^2 + 3x + 2) dx-ты есептеңіз.

• 2ln|x + 1| + C

• ln|x + 3| - ln|x + 1| + C

• ln|x - 1| + ln|x + 2| + C

• ln|x + 1| - ln|x + 2| + C

Answer explanation

Для вычисления интеграла используем разложение на простейшие дроби: (2x + 3)/(x^2 + 3x + 2) = A/(x + 1) + B/(x + 2). Найдя A и B, интегрируем и получаем ln|x + 1| - ln|x + 2| + C.

f(x) = e^x функциясының [0, 1] интервалындағы анықталған интегралын табыңыз.

• 1 - e

• e + 1

• e^2 - 1

• e - 1

Answer explanation

Чтобы найти определенный интеграл от f(x) = e^x на интервале [0, 1], вычисляем: \int_0^1 e^x \, dx = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1. Правильный ответ: e - 1.

∫ tan(x) dx интегралын есептеңіз.

• x^2/2 + C

• -ln|cos(x)| + C

• ln|sec(x)| + C

• sin(x) + C

Answer explanation

Интеграл ∫ tan(x) dx можно выразить как ∫ sin(x)/cos(x) dx. Используя замену u = cos(x), du = -sin(x) dx, получаем -ln|cos(x)| + C, что эквивалентно ln|sec(x)| + C. Правильный ответ: ln|sec(x)| + C.

f(x) = x^2 - 4 функциясының [-2, 2] интервалындағы анықталған интегралын анықтаңыз.

• 0

• 8/3

• -32/3

• -16/3

Answer explanation

Для нахождения определенного интеграла функции f(x) = x^2 - 4 на интервале [-2, 2] вычисляем: \int_{-2}^{2} (x^2 - 4) dx = [\frac{x^3}{3} - 4x]_{-2}^{2} = (-\frac{32}{3}) - (\frac{32}{3}) = -\frac{32}{3}. Правильный ответ: -32/3.

∫ (sin(x) + cos(x)) dx интегралын есептеңіз.

• sin(x) - cos(x) + C

• -sin(x) - cos(x) + C

• cos(x) + sin(x) + C

• -cos(x) + sin(x) + C

Answer explanation

Для вычисления интеграла ∫ (sin(x) + cos(x)) dx, используем стандартные интегралы: ∫ sin(x) dx = -cos(x) и ∫ cos(x) dx = sin(x). Сложив результаты, получаем -cos(x) + sin(x) + C, что соответствует правильному ответу.