Aplicación Lineal

f: R⁴ → R⁴ es una aplicación lineal.

• dim N(f) tiene que ser 4.

• dim Im(f) tiene que ser 4.

• dim Im(f) es 4 si N(f)= vector nulo .

• dim Im(f) = dim N(f)= 4 .

Sea f una transformación lineal diagonalizable de un espacio vectorial V de dimensión n. Puede afirmarse que:

• Existe una base de V formada por vectores propios de f.

• f tiene n vectores propios distintos entre sí.

• f tiene n valores propios distintos entre sí.

El núcleo de un endomorfismo f: R³ → R³ es el subespacio Núcleo(f) = {(x,y,z)/x-y+z=0} . Entonces se verifica que:

• f es biyectiva

• f no es inyectiva

• f es inyectiva

• f es sobreyectiva

Sea f una transformación lineal de un espacio vectorial V . Sea A la matriz asociada a f respecto de la base canónica:

• f es inyectiva ⇔|A|≠0⇔La imagen de un sistema libre es otro sistema libre.

• f es biyectiva ⇔|A|=0⇔N(f)=vector nulo.

• dim(Im(f))=r(A)⇔f es biyectiva ⇔N(f)=vector nulo.

Si A∈Mn(R) es una matriz diagonalizable y λ∈R un valor propio de A. Entonces:

• A−λI_n , es una matriz diagonal.

• |A−λI_n |=0 .

• A−λI_n , es una matriz nula.

Sea A una matriz real simétrica de orden n, entonces:

• A tiene n valores propios, pero, unos pueden ser reales y otros complejos.

• A es una matriz ortogonal.

• Todos los valores propios de A son reales.

Si A y A’ representan a la misma transformación lineal f de V respecto de las bases B y B’ y A=P^-1A’P, entonces:

• P es la matriz de paso de la base B a la base B’.

• P es ortogonal.

• P es diagonal.

• P es la matriz de paso de la base B’ a la base B.

Si P(λ)=(λ−2)(λ+2) es el polinomio característico de una matriz cuadrada A, entonces:

• La matriz A puede ser no diagonalizable.

• |A| = 0.

• Traza(A)=0.

Sea f una transformación lineal de un espacio vectorial V tal que 0 es valor propio de f. Entonces:

• f no es diagonalizable.

• f es inyectiva.

• El núcleo de f es un subespacio vectorial invariante por f.

Una transformación lineal f: R³ → R³ que sea biyectiva, verifica:

• Puede tener a λ = 0 como valor propio

• Tiene a λ = 0 como valor propio.

• Ninguno de sus valores propios es nulo.