Lemniskata

Napišite polarnu jednadžbu lemniskate čija jednadžba u Kartezijevim koordinatama glasi $\left(x^2+y^2\right)^2=8\left(x^2-y^2\right)$   

•  $r^2=8\cos2\varphi$  

•  $r^2=2\sqrt{2}\cos2\varphi$  

•  $r=8\cos2\varphi$  

•  $r=2\sqrt{2}\cos2\varphi$  

Nacrtajte lemniskatu čija polarna jednadžba glasi $r^2=8\cos2\varphi$   

• 
• 
• 
• 

Odredite presjek kružnice $x^2+y^2=4$   i lemniskate  $\left(x^2+y^2\right)^2=8\left(x^2-y^2\right).$ 

•  $\left(\pm\sqrt{2},\ \pm\sqrt{2}\right)$  

•  $\left(\pm1,\ \pm\sqrt{3}\right)$  

•  $\left(\pm2,0\right)$  
  

•  $\left(\pm\sqrt{3},\ \pm1\right)$  

Odredite granice integracije za kut pri računanju površine dijela ravnine izvan kružnice  $x^2+y^2=4$ , a unutar lemniskate  $\left(x^2+y^2\right)^2=8\left(x^2-y^2\right)$ u desnoj poluravnini.

•  $\varphi\in\left[-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}\right]$  

•  $\varphi\in\left[-\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6}\right]$  

•  $\varphi\in\left[-\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{3}\right]$  

•  $\varphi\in\left[-\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4}\right]$  

Postavite integral kojim se računa površina dijela ravnine izvan kružnice $x^2+y^2=4$ , a unutar lemniskate  $\left(x^2+y^2\right)^2=8\left(x^2-y^2\right).$ Uzmite u obzir lijevu i desnu poluravninu!

•  $I=2\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}\int_4^{8\cos2\varphi}r\ dr\ d\varphi$  

•  $I=2\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}\int_2^{2\sqrt{2}\cos2\varphi}\ dr\ d\varphi$  

•  $I=4\int_0^{\frac{\pi}{6}}\int_2^{2\sqrt{2\cos2\varphi}}r\ dr\ d\varphi$  

•  $I=4\int_0^{\frac{\pi}{6}}\int_2^{2\sqrt{2}\cos2\varphi}r\ dr\ d\varphi$  

 Izračunajte integral $I=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\int_2^{2\sqrt{2\cos2\varphi}}r\ dr\ d\varphi.$ 

•  $\sqrt{3}+\frac{\pi}{3}$  

•  $\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$  

•  $1-\frac{\pi}{6}$  

•  $1+\frac{\pi}{6}$