Fonctions usuelles

Que signifie l'écriture $f(x) = o(g(x))$ lorsque $x$ tend vers $x_0$?

• La limite de $f(x)/g(x)$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ est égale à 0.

• La limite de $f(x)/g(x)$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ est égale à 1.

• $|f(x)| \le |g(x)|$ au voisinage de $x_0$.

• La limite de $f(x) - g(x)$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ est égale à 0.

Quel est le domaine de définition de la fonction $\ln(x)$?

• $\mathbb{R}$.

• $]0, +\infty[$.

• $[0, +\infty[$.

• $]0, 1[$.

Quelle est la dérivée de la fonction $\arctan(x)$?

• $\frac{-1}{1+x^2}$.

• $1 + \tan^2(x)$.

• $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

• $\frac{1}{1+x^2}$.

Quelle condition définit la continuité d'une fonction $f$ en un point $x_0$?

• $f$ est dérivable en $x_0$.

• La limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ est égale à $f(x_0)$.

• $f$ est bornée au voisinage de $x_0$.

Si une fonction $f$ est continue sur un intervalle $[a, b]$, que garantit le Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour un réel $\gamma$ entre $f(a)$ et $f(b)$?

• $f$ est strictement monotone sur $[a, b]$.

• Il existe un unique réel $c$ dans $[a, b]$ tel que $f(c) = \gamma$.

• Il existe au moins un réel $c$ dans $[a, b]$ tel que $f(c) = \gamma$.

• $f$ atteint ses bornes sur $[a, b]$.

Pour qu'une fonction $f$ établisse une bijection d'un intervalle $I$ sur $f(I)$, quelles propriétés essentielles doit-elle avoir sur $I$?

• Être dérivable et s'annuler en un point.

• Être continue et strictement monotone.

• Être dérivable et strictement monotone.

• Être continue et bornée.

Comment est défini le nombre dérivé $f'(x_0)$ d'une fonction $f$ en un point $x_0$?

• C'est la limite $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \infty$.

• C'est la pente de la sécante passant par $(x_0, f(x_0))$ et $(x_0+h, f(x_0+h))$.

• C'est la limite $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ si cette limite existe et est

Si une fonction $f$ est dérivable en $x_0$, quelle est l'équation de la tangente à sa courbe représentative au point d'abscisse $x_0$?

• $y = f(x_0) + f'(x_0)x$.

• $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$.

• $y = f'(x_0)x + f(x_0)$.

• $y = f'(x_0)(x-x_0)$.

Si une fonction $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$, que garantit le Théorème des accroissements finis?

• $f(b)-f(a) = f'(a)(b-a)$.

• Il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$.

• $f$ est bornée sur $[a, b]$.

• Il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)$.

Quelle est la formule du développement limité de la fonction $e^x$ à l'ordre $n$ en 0?

• $\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} + o(x^n)$.

• $\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}$.

• $1+x+x^2+...+x^n$.

• $\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2n})$.