Teoría de Conjuntos – Nivel Universitario

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera respecto al conjunto vacío ∅?

• ∅∈∅

• ∅⊆{∅}

• {∅}=∅

• ∅={∅}

Answer explanation

¡Muy bien si marcaste la opción ∅⊆{∅}! El conjunto vacío ∅ está contenido en todos los conjuntos, incluso en {∅}.
Si te confundiste, recordá: {∅} es un conjunto que tiene un único elemento: el vacío. Pero ∅ no tiene ningún elemento. Son cosas diferentes.

Sean A={x∈Z:x2<9} y B={−2,0,1,3}. ¿Cuál es A∩B?

• {−2,0,1}

• {−3,−2,−1,0,1,2}

• {−2,0,1,3}

• {0,1,3}

Answer explanation

¡Correcto si elegiste {−2, 0, 1}! Son los elementos que aparecen en ambos conjuntos.
Si no lo resolviste bien, repasá qué significa intersección: sólo incluye los elementos comunes a A y B. Hacer el conjunto A por extensión te puede ayudar.

Sean U={1,2,3,4,5}, A={2,4}, B={1,2,3}. ¿Cuál es (A∪B)^c respecto del universo U?

• {1,3,5}

• {5}

• {2,4,5}

• {1,2,3,4}

Answer explanation

¡Excelente si elegiste {5}! La unión A ∪ B da {1,2,3,4}, y su complemento en U es el elemento que no está: el 5.
Si fallaste, te recomiendo practicar cómo se calcula un complemento: son todos los elementos del universo que no están en el conjunto dado.

Si A⊆B y B⊆A, entonces A=B.

• Verdadero

• Falso

Answer explanation

¡La respuesta es verdadera! Esa es la definición de igualdad entre conjuntos: si ambos son subconjuntos uno del otro, entonces contienen los mismos elementos.
Este es un principio fundamental en teoría de conjuntos.

Si respondiste "falso", repasá la definición de igualdad de conjuntos.

La expresión (A−B)∪(B−A)es igual a A∩B.

• Verdadero

• Falso

Answer explanation

¡Muy bien si elegiste falso! Esa expresión representa la diferencia simétrica, no la intersección.
Si respondiste "verdadero", recordá que la intersección contiene los elementos comunes, y la diferencia simétrica contiene los que están en uno u otro, pero no en ambos.

Dado el universo 𝑈 = { 𝑥 ∈ 𝑁: 𝑥 ≤ 10}, y los conjuntos: 𝐴={𝑥 ∈ 𝑁 : 𝑥 es múltiplo de 3} 𝐵={𝑥 ∈ 𝑁: 𝑥 es número primo}

a) Representá los conjuntos A y B por extensión.

b) Calculá: 𝐴∪𝐵, 𝐴∩𝐵, 𝐵^c

Answer explanation

La respuesta correcta es:
U= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A={3,6,9}

B={2,3,5,7}

Y los conjuntos quedarían:

A∪B={2,3,5,6,7,9}

(En la unión se consideran todos los elementos de ambos conjuntos)

A∩B={3}

(En la intersección se consideran los elementos en común)

𝐵^𝑐 = {1,4,6,8,9,10}

(En el complemento de B son los elementos del universo que no están en el conjunto B)

Explicá con tus propias palabras la diferencia entre los siguientes pares de conceptos:

a) Elemento vs. subconjunto

b) Conjunto vacío vs. conjunto que contiene al conjunto vacío

c) ¿Por qué el conjunto A={1,{1}} tiene dos elementos?

Answer explanation

a) Elemento vs. subconjunto:
Un elemento es un objeto individual dentro de un conjunto. Un subconjunto es un conjunto formado por uno o más elementos del conjunto original.

b) Conjunto vacío vs. conjunto que contiene al conjunto vacío:
El conjunto vacío es ∅, no tiene ningún elemento.
El conjunto {∅} sí tiene un elemento: el conjunto vacío.
Uno está vacío, el otro contiene un vacío.

c) ¿Por qué A={1,{1}} tiene dos elementos?
Porque el número 1 y el conjunto {1} son dos cosas distintas: uno es un número, el otro es un conjunto que lo contiene.