Kuis baca Georg Cantor 1

Manakah yang lebih banyak isinya?
Himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
atau himpunan B = {5001, 5002, 5003, 5004, ...}?

• Tidak ada yang lebih banyak

• Himpunan A

• Himpunan B

• Tidak mungkin diketahui

Himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Himpunan B = {20, 40, 60, 80, 100, ...}

Apakah isi himpunan A lebih banyak dari B karena B tidak mengandung bilangan 1, 2, ..., 19, 21, 22, ..., 39, dan seterusnya?

• Ya

• Tidak

A = {30, 80, 130, 180, 230, ...}

B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Apakah hubungan antara banyaknya anggota A dan banyaknya anggota B?

• |A| = |B|

• |A| > |B|

• |A| < |B|

Bagaimana perbandingan banyaknya anggota himpunan N = {1, 2, 3, 4, ...} dengan banyak anggota himpunan Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} ?

• N pasti lebih sedikit, karena himpunan N hanya mendaftar bilangan bulat positif, sementara himpunan Z mendaftar juga bilangan negatif.

• Z pasti lebih banyak, karena semua anggota N juga terdapat dalam Z, sementara dalam Z ada anggota yang tidak terdaftar dalam N.

• Sama, karena himpunan N memiliki tak berhingga anggota, dan himpunan Z memiliki tak berhingga anggota, sehingga kedua-duanya sama-sama memiliki tak berhingga anggota.

• Sama, karena setiap anggota Z dapat diberi label bilangan dari N. Misalnya 0 diberi label 1, 1 diberi label 2, -1 diberi label 3, 2 diberi label 4, -2 diberi label 5, dan seterusnya.

• Sama, karena ada fungsi bijektif dari Z ke N. Jika z adalah anggota Z dan n adalah anggota N, maka n=2z ketika z positif, dan n=1-2z ketika z bukan positif.

Bagaimana perbandingan banyaknya anggota himpunan asli (N) dengan banyak anggota himpunan rasional positif (Q+)?

• Sama, karena setiap anggota Q+ dapat diberi label bilangan dari N. Misalnya 1 diberi label 1, 1/2 diberi label 2, 2 diberi label 3, 1/3 diberi label 4, 2/3 diberi label 5, dan seterusnya, dengan mengabaikan bilangan yang sudah diberi label sebelumnya.

• Sama, karena himpunan N memiliki tak berhingga anggota, dan himpunan Q+ juga memiliki tak berhingga anggota, sehingga keduanya sama-sama tak berhingga.

• Sama, karena ada fungsi bijektif dari Q+ ke N.

• N pasti lebih sedikit, karena sesuai definisi bilangan rasional, anggota Q+ pasti akan berbentuk a/b, yang masing-masing adalah bilangan asli.

• Q+ pasti lebih banyak, karena ada anggota Q+ yang merupakan pecahan, sementara N hanya bilangan bulat saja.

Bomi mengatakan bahwa bilangan asli N lebih banyak dari bilangan genap positif E, karena jika 2, 4, 6, 8, ... dalam N dipasangkan dengan 2, 4, 6, 8, ... dalam E, masih akan ada sisa 1, 3, 5, 7, ...

• Bomi benar karena memang demikian adanya.

• Bomi salah karena ada cara memasangkan N dengan E yang tak bersisa, yaitu dengan mengalikan setiap anggota N dengan 2.

• Bomi salah karena ada cara memasangkan E dengan N yang tak bersisa, yaitu dengan membagi anggota E dengan 2.

• Bomi benar karena syarat dua himpunan sama besar adalah jika dan hanya jika semua cara pemasangan dua himpunan tersebut tidak menyisakan anggota sama sekali.

Bagaimana perbandingan banyaknya titik yang terkandung dalam garis sepanjang 2 cm (a) dengan garis sepanjang 3 cm (b)?

• b mengandung titik lebih banyak dari a karena ada 1 cm sisa yang tidak terdapat pada garis a.

• banyak titik yang dikandung oleh a maupun b sama karena keduanya sama-sama mengandung tak berhingga titik.

• banyak titik yang dikandung oleh a maupun b sama karena dapat dibuat fungsi bijektif dari a ke b

Bagaimana perbandingan banyaknya bilangan pada interval (0, 1) dengan banyaknya bilangan pada interval (0, 1]?

• Interval (0, 1] mengandung bilangan lebih banyak, karena ada bilangan 1 yang tidak terkandung dalam interval (0, 1)

• Keduanya sama karena dapat dibuat fungsi bijektif dari (0, 1) ke (0, 1] dengan cara memetakan setiap bilangan 1/n dari (0,1) ke 1/(n-1) dari (0, 1] (n bilangan asli). Sisanya dipetakan pada dirinya sendiri.

• Keduanya sama karena baik interval (0, 1) maupun (0, 1] mengandung tak berhingga bilangan, sehingga keduanya sama.

Contoh fungsi bijektif yang memetakan bilangan dalam interval (0, 1) dengan bilangan real keseluruhan adalah ...

• f(x) = tan(π x - π/2)

• f(x) = sin(π x - π/2)

• f(x) = cos(π x - π/2)

• f(x) = x^2

Bagaimana perbandingan banyaknya bilangan asli (N) dengan banyaknya bilangan dalam interval (0, 1)?

• Sama, karena keduanya sama-sama mengandung tak berhingga bilangan.

• Sama, karena ada fungsi bijektif yang memetakan setiap bilangan pada N ke setiap bilangan pada interval (0, 1).

• Interval (0, 1) pasti lebih banyak, karena N hanya mengandung bilangan asli saja, sementara (0,1) mengandung bilangan real.

• N pasti lebih sedikit, karena jika n ∈ N, 1/(n+1) pasti terkandung dalam (0, 1), tetapi selain bilangan 1/(n+1) masih ada bilangan lain.

• Interval (0, 1) lebih banyak, karena jika kita mengasumsikan sudah menomori setiap anggotanya dengan bilangan asli, dengan argumen diagonal dapat dibuktikan bahwa selalu akan ada bilangan lain yang belum dinomori.