Understanding Equivalence Relations

Quelles sont les trois propriétés qui définissent une relation d'équivalence ?

• Réflexivité, Symétrie, Irréflexivité

• Réflexivité, Asymétrie, Transitivité

• Réflexivité, Symétrie, Transitivité

• Non-réflexivité, Symétrie, Transitivité

Considérez la relation R sur l'ensemble de toutes les personnes définie par 'a est lié à b si a et b ont le même anniversaire'. R est-elle une relation d'équivalence ? Expliquez votre raisonnement.

• Non, R n'est pas une relation d'équivalence car elle manque de symétrie.

• Oui, mais R n'est pas réflexive.

• Oui, R est une relation d'équivalence.

• R est une relation d'équivalence seulement si tout le monde partage le même anniversaire.

Si R est une relation d'équivalence sur un ensemble A, que pouvez-vous dire sur les classes d'équivalence de R ?

• Les classes d'équivalence de R partitionnent l'ensemble A en sous-ensembles disjoints.

• Les classes d'équivalence de R sont toujours vides.

• Les classes d'équivalence de R peuvent se chevaucher.

• Les classes d'équivalence de R ne sont pas bien définies.

Donnez un exemple d'une relation sur l'ensemble des nombres réels qui n'est pas une relation d'équivalence et expliquez pourquoi elle ne répond pas aux critères.

• La relation T sur l'ensemble des nombres réels définie par T = {(x, y) | x = y + 1} n'est pas une relation d'équivalence.

• La relation R sur l'ensemble des nombres réels définie par R = {(x, y) | x < y} n'est pas une relation d'équivalence.

• La relation S sur l'ensemble des nombres réels définie par S = {(x, y) | x + y = 0} n'est pas une relation d'équivalence.

• La relation U sur l'ensemble des nombres réels définie par U = {(x, y) | x * y > 0} n'est pas une relation d'équivalence.

Donnez un exemple d'une relation sur l'ensemble des nombres réels qui est une relation d'équivalence et expliquez pourquoi elle répond aux critères.

• La relation E sur l'ensemble des nombres réels définie par E = {(x, y) | x = y} est une relation d'équivalence.

• La relation F sur l'ensemble des nombres réels définie par F = {(x, y) | x + y = 2} est une relation d'équivalence.

• La relation G sur l'ensemble des nombres réels définie par G = {(x, y) | x - y = 0} est une relation d'équivalence.

• La relation H sur l'ensemble des nombres réels définie par H = {(x, y) | x * y = 1} est une relation d'équivalence.

Quelles sont les conséquences de la non-réflexivité d'une relation sur un ensemble donné ?

• La relation ne peut pas être une relation d'équivalence.

• La relation peut toujours être symétrique.

• La relation peut être transitive même si elle est non-réflexive.

• La relation doit être asymétrique.