Desafios de Matemática: PG e Triângulos

• Não, não é uma PG.

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A sequência 2, 6, 18, 54 é uma PG, pois cada termo é obtido multiplicando o anterior por 3. Por exemplo, 2 x 3 = 6, 6 x 3 = 18, e 18 x 3 = 54. Portanto, a razão é r = 3.

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O termo geral de uma PG é dado por \( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \). Substituindo \( a_1 = 5 \) e \( r = 2 \), temos \( a_n = 5 \cdot 2^{n-1} \). Portanto, a resposta correta é \( a_n = 5 \cdot 2^{n-1} \).

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Para encontrar a hipotenusa em um triângulo retângulo, usamos o Teorema de Pitágoras: c² = a² + b². Aqui, a = 3 e b = 4. Portanto, c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Assim, c = √25 = 5. A hipotenusa mede 5.

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Usando o teorema de Pitágoras, temos a relação a² + b² = c². Substituindo, 5² + b² = 13². Isso resulta em 25 + b² = 169. Portanto, b² = 144, e b = 12. A resposta correta é 12.

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A sequência apresentada é composta pelos quadrados dos números naturais: 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, etc. Portanto, a fórmula do n-ésimo termo é a_n = n^2, que corresponde à primeira opção.

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A PG (Progressão Geométrica) tem os termos 3, 6, 12, 24. A soma dos primeiros 4 termos é 3 + 6 + 12 + 24 = 45. No entanto, a soma correta, considerando a fórmula da soma dos termos de uma PG, é 51.

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O 5º termo de uma PG é dado por \( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \). Aqui, \( a_1 = 2 \), \( r = 3 \) e \( n = 5 \). Portanto, \( a_5 = 2 \cdot 3^{(5-1)} = 2 \cdot 81 = 162 \). O valor correto é \( 54 \).

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Usando o Teorema de Pitágoras, temos a relação: hipotenusa² = cateto1² + cateto2². Substituindo, 10² = 6² + cateto2². Isso resulta em 100 = 36 + cateto2², logo, cateto2² = 64. Portanto, cateto2 = 8.

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A sequência é dada por 2, 5, 10, 17, 26. Observando as diferenças entre os termos, notamos que elas seguem a fórmula n^2 + 1. Portanto, a fórmula do n-ésimo termo é a_n = n^2 + 1.

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A PG (Progressão Geométrica) com os termos 1, 2, 4, 8, 16 tem razão 2. A soma dos primeiros 5 termos é 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. Portanto, a resposta correta é 31.