ДЗ №7 Хард | Сімейство паралелограмів

Відомо, що в коло вписано чотирикутник, величина трьох його кутів дорівнює 46°, 58°, 134°. Знайти величину дуги, що стягує кінці четвертого кута.

• 92°

• 116°

• 180°

• 244°

• 268°

Answer explanation

Величина четвертого кута дорівнює 180°-58°=122°. Величина дуги дорівнює подвоєній величині кута, тобто 244°.

Які з наведених тверджень є правильними?

І. сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°

ІІ. протилежні сторони паралелограма рівні

ІІІ. діагоналі будь-якого паралелограма перпендикулярні

• лише І

• лише ІІ і ІІІ

• лише І і ІІ

• лише І і ІІІл

• лише ІІ

Answer explanation

І. Так, сусідні кути паралелограма є внутрішньо односторонніми при паралельних прямих, отже їх сума 180°.

ІІ. Так, протилежні сторони паралелограма попарно паралельні та рівні.

ІІІ. Ні, діагоналі паралелограма не завжди перпендикулярні.

Сторона ромба дорівнює 6 см, а його площа – 18 см2. Знайти найбільший кут ромба.

• 105°

• 120°

• 130°

• 135°

• 150°

Скільки см дроту знадобиться для виготовлення рамки, яка має форму паралелограма зі сторонами 14 і 8 см?

• 40 см

• 38 см

• 42 см

• 36 см

• 44 см

Answer explanation

Знайдемо периметр заданого паралелограма. Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то Р = (14 + 8)*2 = 22*2 = 44 см.

Знайти сторону квадрата, діагональ якого дорівнює 12 см.

• 6 см

• 12 см

• 12√2 см

• 6√2 см

• 2 см

Бісектриса кута N прямокутника MNFK ділить сторону MK на відрізки у відношенні 5:2, починаючи від вершини М. Знайти меншу сторону прямокутника, якщо його периметр дорівнює 72 см.

У відповідь записати тільки число.

Answer explanation

Оскільки NA - бісектриса кута N, то ∠1 = ∠2. NF||MK, NA  - січна, тому ∠2 = ∠3 як внутрішні різносторонні. Отже, ∠1 = ∠3 і трикутник  NMA - рівнобедрений з основою NA. Отже, MN = MA. Довжини відрізків MA і AK відповідно дорівнюють 5х см, 2х см, де х – деяке число. Маємо: 2*((5х+2х)+5х)=72; 12х=36; х=3. 7х=7*3=21, 5х=5*3=15. Отже, MK = NF = 21 см, MN = FK = 15 см.

Бісектриса кута А прямокутника ABCD перетинає його більшу сторону ВС в точці М. Визначте радіус кола (у см), описаного навколо прямокутника, якщо ВС = 24 см, АМ = 10√2 см.

• 26 см

• 13 см

• 67 см

• 10 см

Answer explanation

Так як маємо паралельні прямі AD та ВС і січну АС, то кути DAM та ВMA рівні (як внутрішні різносторонні). Так як кути ВАМ та DAM також рівні (АМ-бісектриса), то кути ВАМ і ВМА рівні. Відповідно прямокутний трикутник АВМ є рівнобедреним (ВА=ВМ). За теоремою Піфагора AM² = AB² + BM². Якщо підставити замість ВМ АВ маємо AВ² + AВ² = 100 ⋅ 2, звідки АВ² = 100 і АВ = 10 см. В прямокутному трикутнику АВС за теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС² = 10² + 24² = 100 + 576 = 676, звідки АС = 26. Так як радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині діагоналі прямокутника, то R = AC : 2 = 26 : 2 = 13 см.

Діагональ АС та висота ВР паралелограма ABCD перетинаються в точці К (див. рисунок). Відомо, що АВ = 12, ∠BAD = 60^o, ВК : КР = 4 : 1.

1. Визначте довжину відрізка АР.

У відповідь записати лише число.

Answer explanation

З прямокутного трикутника АВР AP = AB cos⁡A = 12⋅cos⁡ 60° = 12 ⋅ 0,5 = 6.

Одна з діагоналей ромба дорівнює 30 см. Знайти іншу діагональ ромба, якщо його периметр дорівнює 68 см.

• 64 см

• 16 см

• 8 см

• 15 см

• 17 см

Які з наведених тверджень є правильними?

І. Навколо довільного ромба завжди можна описати коло.

ІІ. Навколо довільної трапеції завжди можна описати коло.

ІІІ. Навколо довільного прямокутника завжди можна описати коло.

• лише І та ІІІ

• лише І

• лише ІІІ

• І, ІІ, ІІІ

• лише ІІ та ІІІ

Answer explanation

Коло можна описати навколо чотирикутника, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180°

І. Ні, оскільки в ромба протилежні кути рівні, а суми протилежних відповідно дорівнюють 180° тільки якщо це квадрат.

ІІ. Ні, оскільки в довільній трапеції кути теж довільні, але сума кутів, прилеглих до однієї бічної, дорівнює 180°.

IІІ. Так, у прямокутнику всі кути рівні, відповідно вони дорівнюють 90°, тоді у будь-якому прямокутнику сума протилежних кутів дорівнюватиме 180°.