AL2 quiz1 semana 1 y 2

En un espacio vectorial V de dimension n se considera el conjunto S de V ,

marque la opcion que considere FALSA:

• Si S contiene n vectores linealmente independientes, entonces es una base

  de V.

• S contiene una cantidad cualquiera de vectores. La dimension de lin(S) es

  igual a la cantidad de vectores linealmente independientes que contenga

  S.

• La cantidad de vectores linealmente independientes de S constituye una

  base de V .

• Si S genera a V y se suprimen todos los vectores que sean combinaciones

  lineales de los precedentes, los vectores que quedan constituyen una base

  de V .

Dado un cuerpo de escalares K y un conjunto V con reglas de suma y producto

por escalares, marque la opcion que considere FALSA:

• Los axiomas que definen un espacio vectorial se clasican en dos cate-

  gorias, una relacionada con la suma en V y la otra con el producto por

  escalares.

• V es un espacio vectorial sobre K.

• Si los axiomas de aditividad para un espacio vectorial se verican en V ,

  entonces V es un grupo abeliano bajo la suma.

• Si V es un espacio vectorial sobre K, todos los axiomas lo denen como

  tal, se verican en cualquier subespacio de V .

• El cuerpo K puede ser visto como un espacio vectorial sobre el mismo

  cuerpo K.

Sea S = v1,....vn una base de un espacio vectorial V . Cual de las siguientes

afirmaciones es FALSA?

• La dimension del espacio vectorial V es n

• Si le agregamos un vector vn+1 al conjunto S, este conjunto de n + 1

  elementos es un conjunto linealmente dependiente en V .

• Si eliminamos un vector del conjunto S, este conjunto de n-1 elementos

  es un conjunto linealmente independiente en V

• Si le agregamos un vector vn+1 al conjunto S, este conjunto de n+1 ele-

  mentos es un conjunto generador de V

• Si eliminamos un vector del conjunto S, este conjunto de n - 1 elementos

  es un conjunto generador de V

Cuales de los siguientes conjuntos NO es un espacio vectorial sobre el cuerpo

que se indica?

• El conjunto C, de los numeros complejos sobre el cuerpo R de los numeros

  reales, con operaciones usuales.

• El conjunto de matrices reales nxn sobre el cuerpo R de los numeros

  reales, con operaciones usuales.

• El conjunto de los polinomios de cualquier grado, de coeficientes reales

  sobre el cuerpo R de los numeros reales, con operaciones usuales.

• El conjunto C, de los numeros complejos sobre el cuerpo C de los numeros

  complejos, con operaciones usuales.

• El conjunto Q , de los numeros racionales sobre el cuerpo R de los numeros

  reales, con operaciones usuales.

Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V . Cual de las siguientes

afirmaciones es FALSA?

• lin(W) es un subespacio vectorial de V

• La envolvente lineal de la envolvente lineal de W, lin(lin(W)) es un

  subespacio vectorial de V

• La envolvente lineal de la envolvente lineal de W, es igual a la envolvente

  lineal de W, es decir lin(lin(W)) = lin(W).

• lin(W) es el menor subespacio de V , que contiene a W.

• La envolvente lineal de la envolvente lineal de W, es igual a W, es decir

  lin(lin(W)) = W.

Sea S un subconjunto de un espacio vectorial V . En ese caso, S es una base

de V si los vectores de S:

• Forman un conjunto linealmente independiente.

• Generan V

• Forman un conjunto linealmente dependiente.

• Forman un conjunto linealmente dependiente y ademas generan V

• Generan cualquier vector de V mediante una unica combinacion lineal de

  los mismos.

• Si S es linealmente independiente, necesariamente T es linealmente de-

  pendiente.

• Si S es linealmente independiente, necesariamente T es linealmente inde-

  pendiente.

• Si S es linealmente dependiente, necesariamente T es linealmente inde-

  pendiente.

• Si S es linealmente dependiente, necesariamente T es linealmente depen-

  diente.

• Si T es linealmente dependiente, necesariamente S es linealmente inde-

  pendiente.

Cual de los siguientes conjuntos NO corresponde a un subespacio vectorial

de R3?

• verdadero

• falso

Si U , W son subespacios de un espacio vectorial V , entonces la union de U y

W es un subespacio de V

• verdadero

• falso

Answer explanation

*Contraejemplo: En R2, U es el eje X, V es el eje Y , la union de U y V

no contiene al vector (1; 1) = (1; 0) + (0; 1).

*La union de subespacios no siempre es cerrada para la suma de vectores.