Baraj clasa a XII-a Olimpiada Națională GAZETA MATEMATICĂ

Fie

 $H=\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}\subset Z$  Determinați numerele întregi a, astfel încât H să fie parte stabilă în raport cu legea de compoziție  $x\Delta y=\left|x+ay\right|$  

•  $\ a\in\phi$  

•  $\ a\in\left\{-1,0\right\}$  

•  $\ a\in\left\{-1,0,1\right\}$  

•  $\ a=2$  

•  $\ a\in Z$  

 $Fie\ G=\left(3,\infty\right)\ si\ xoy=xy-3x-3y+12,\ x,y\in G.$  Atunci  $aoao...oa\ \ \left(de\ n\ ori\right)\ este:$  

•  $a^n$  

•  $\ \left(a-3\right)^n$  

•  $\left(a-3\right)^n+12$  

•  $\ \left(a-3\right)^n+3\$  

•  $\ a^n+3$  

 $\left(Q-\left\{0\right\}\left(\sqrt{2}\right),\ \cdot\right)\ este:$  

Numărul automorfismelor grupului

• 6

•  1

•  2

• 3

• 4

 $Grupul\ \left(Z_6,\ +\right)$  are un număr de subgrupuri egal cu:

• 6

•  4
  

• 2

•  1

•  0

Sistemul

 $3^{\wedge}x+2^{\wedge}y=4^{\wedge}\ ;\ \ 4^{\wedge}x+6^{\wedge}y=2^{\wedge}$  are  $Z_{12}$  un număr de soluții egal cu:

•  0

• 2

• 4

• 6

• 8

Pe mulțimea

 $A=\left(a,\ \infty\right),\ a\in R$  se definește următoarea lege de compoziție  $x\nabla y=\frac{1}{2}\ln\left(e^x+e^y\right).$  Ce condiții trebuie să indeplinească a, știind că A este parte stabilă a lui R în raport cu legea de compoziție.

•  $a=2$  

•  $\ a>0$  

•  $a\in\left(1,\infty\right)$  

•  $a=e$  

•  $a\le\ln2$  

Numărul automorfismelor grupului (Z, +) este:

• 0

• 1

• 2

• 4

• 6

Fie grupurile  $\left(\left(0,\infty\right),\cdot\right)\ si\ \left(R,\ +\right).$  Aflati numărul real m astfel încât între cele două grupuri funcția f să determine un izomorfism $f:\left(0,\infty\right)\rightarrow R,\ f\left(x\right)=\ln\left(\left(m-1\right)x+\sqrt{m^2-4}\right)$  

                

• m=1

•  m=4

•  m=-2

•  m=2

•  nu există m

Fie funcția  $f:Z\rightarrow Q,\ f\left(x\right)=ax+b,\ a,b\in Q$  Determinați a și b astfel încât f să fie izomorfism între grupurile (Z,+) și (Q,+).

• a=1,b=o

•  a=-b

•  a=b

•  a=b=1

•  nu exista valori pentru a și b

Numărul legilor de compoziție comutative definite pe o multime cu trei elemente este:

• 81

• 27

• 9

• 243

• 729