verifica limiti

 $\forall\epsilon>0\ \ \ \exists\ \ \ c>0\ :\ \ \ se\ x>c,\ \ allora\ \left|f\left(x\right)-1\right|<\epsilon$  corrisponde a :

•  $\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=+\infty$  

•  $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=1$  

•  $\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=1$  

•  $\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=\infty$  

 $\forall M>0\ \exists\ c>0\ \ tale\ che\ \ se\ x>c\ allora\ f\left(x\right)>M$  

•  $\lim_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=+\infty$  

•  $\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=+\infty$  

•  $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty$  

•  $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=1$  

 $\forall\ M>\exists\ \ I\left(x_0\right):\ \ f\left(x\right)>M\ \ \ \ \ qualunque\ \ \ \ x\in I\left(x_0\right),\ x\ne x_0$  

•  $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty$  

•  $\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=+\infty$  

•  $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+1$  

•  $\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=-\infty$  

Sappiamo che:
 $\left(1\right)\ \lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=+\infty$   $\left(2\right)\ \lim_{x\rightarrow\infty}h\left(x\right)=\infty$   $\left(3\right)\ \lim_{x\rightarrow+\infty}g\left(x\right)=2$   $\left(4\right)\ \lim_{x\rightarrow2}t\left(x\right)=1$ 

Quale funzione ha un asintoto orizzontale?

• f(x)

• g(x)

• h(x)

• t(x)

 $\forall\ \epsilon>0\ \ \ \ \ \exists\ \ I\left(x_0\right):\ \left|f\left(x\right)-1\right|\ <\epsilon\ \ \ \ qualunque\ \ \ x\in I\left(x_0\right),\ x\ne x_0$  a quale limite corrisponde?

• $\lim_{x\rightarrow+2}f\left(x\right)=+\infty$

• $\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=+2$

• $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+1$

• $\lim_{x\rightarrow-2}f\left(x\right)=1$

Come si traduce il seguente limite:
 $\lim_{x\rightarrow+\infty}x^2+1=+\infty$  

•  $\forall\ \epsilon>0\ \ \ \exists\ \ c>0\ :\ se\ x>c\ allora\$   $\left|x^2+1\right|<\epsilon$  

•  $\forall\ M>0\ \ \ \exists\ \ c>0\ :\ se\ x>c\ allora\$  $x^2+1<M$  
  

•  $\forall\ M>0\ \ \ \exists\ \ c>0\ :\ se\ x>c\ allora\$   $x^2+1>M$  

•  $\forall\ M>0\ \ \ \exists\ \ c>0\ :\ se\ x>c\ allora\$   $x^2+1<M$  

La scrittura  $\lim_{x\rightarrow2}\ \left(x^2+2x\right)=8$   significa:

• fra le soluzioni di  $\left|x^2+2x-8\right|<\epsilon$ , con  $\epsilon>0$ , vi è un intervallo illimitato a sinistra.
  

• fra le soluzioni di  $\left|x^2+2x-8\right|<\epsilon$ , con  $\epsilon>0$ , vi è un intervallo illimitato a destra.

• fra le soluzioni di  $\left|x^2+2x-8\right|<\epsilon$ , con  $\epsilon>0$  , vi è un intorno di 2 privato di 2.
  

• fra le soluzioni di   $x^2+2x-8<-M$ , con M>0, vi è un intorno di 2 privato di 2.
  

• fra le soluzioni di   $x^2+2x-8>-M$ , con M>0, vi è un intorno di 2 privato di 2.
  

Per verificare il limite  $\lim_{x\rightarrow-1}\ \frac{1}{\left(x+1\right)^2}=+\infty$  quale delle seguenti disequazioni dobbiamo risolvere?

•  $\frac{1}{\left(x+1\right)^2}<M$  

•  $\frac{1}{\left(x+1\right)^2}<-M$  
  

•  $\frac{1}{\left(x+1\right)^2}>M$  

•  $\frac{1}{\left(x+1\right)^2}>-M$  

•  $\left|\frac{1}{\left(x+1\right)^2}-1\right|<\epsilon$  

La scrittura

 $\lim_{x\rightarrow-1}\ \frac{1}{-1-2x-x^2}=-\infty$  significa:

• fissato  $\epsilon>0$ , fra le soluzioni della disequazione:  $\left|\frac{1}{-1-2x-x^2}+1\right|<\epsilon$  vi è un intervallo illimitato a sinistra.
  

• fissato  $\epsilon>0$  , fra le soluzioni della disequazione  $\left|\frac{1}{-1-2x-x^2}-1\right|<\epsilon$  vi è un intervallo illimitato a sinistra.
  

• fissato M>0, fra le soluzioni della disequazione  $\left|\frac{1}{-1-2x-x^2}\right|<-M$  vi è un intorno di -1 privato di -1.
  

• fissato M>0, fra le soluzioni della disequazione  $\frac{1}{-1-2x-x^2}>M$  vi è un intorno di -1 privato di -1
  

• fissato M>0, fra le soluzioni della disequazione  $\frac{1}{-1-2x-x^2}<-M$  vi è un intorno di -1 privato di -1.
  

Se

 $f\left(x\right)=-\frac{5}{\left(x-1\right)^2}$  è definita sull'intervallo[0;2] privato del punto interno 1 e se per ogni numero reale positivo M si può sempre determinare un intorno I di 1 tale che risulti  $-\frac{5}{\left(x-1\right)^2}<-M$  per ogni  $x\in I\cap\left[a;b\right]-1$  allora vale:

•  $\lim_{x\rightarrow1}-\frac{5}{\left(x-1\right)^2}=-M$  

•  $\lim_{x\rightarrow+\infty}-\frac{5}{\left(x-1\right)^2}=-M$  

•  $\lim_{x\rightarrow+\infty}-\frac{5}{\left(x-1\right)^2}=-\infty$  

•  $\lim_{x\rightarrow1}-\frac{5}{\left(x-1\right)^2}=-\infty$  

•  $\lim_{x\rightarrow1}-\frac{5}{\left(x-1\right)^2}=+\infty$