Ma 4: komplexa tal

VIlka stämmer?

•  $z_1=2+3i$  

•  $z_1=3+2i$  

•  $\overline{z_1}=2-3i$  

•  $\left|z_1\right|=\sqrt{13}$  

•  $z_1\cdot i=-2-3i$  

Answer explanation

x-axeln ger  $Re\ z_1$  
y-axeln ger  $Im\ z_1$  

 $\overline{z_1}$  är konjugatet, alltså speglingen i x-axeln

 $\left|z_1\right|$  är beloppet, alltså avståndet till origo, beräknas med pythagoras sats

Multiplikation med i ändrar inte tecken utan roterar  $90\degree$   $z_1\cdot i=-3+2i$  

Tags

CCSS.HSN.CN.A.3

 $z\cdot\overline{z}$ 

• alltid reellt

• reellt endast  om  $Im\ z=\ 0$  

• alltid imaginärt

• reellt endast om  $Re\ z=Im\ z$  

Answer explanation

 $\overline{z}$  är z-konjugat, alltså speglingen i x-axeln
 $\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)=$  
 $=a^2-abi+abi-b^2i^2=$  
 $=a^2-b^2\cdot i^2=$  
 $=a^2-b^2\cdot\left(-1\right)=$  
 $=a^2+b^2$  
Så  $i$  försvinner alltid

Vilka stämmer?

•  $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$  

•  $\arg\left(z_1\right)=\arg\left(z_2\right)$  

•  $Re\ z_1=Im\ z_1$  

•  $z_1=z_2\cdot\left(\cos\ \frac{\pi}{4}+i\ \sin\ \frac{\pi}{4}\right)$  

Answer explanation

 $z_1$  och  $z_2$   ligger på samma avstånd från origo  $\Longrightarrow$  de har samma belopp

arg z står för argumentet, alltså vinkeln, de har inte samma vinkel

 $z_{1\ }$  har samma x- och y-koordinat  $\Longrightarrow$   $Re\ z_{1\ }=Im\ z_1$  

 $z_1$  kan man få genom att rotera  $z_2$   $45\degree$  i positiv riktning därmed stämmer även multiplikationen

Tags

CCSS.HSN.CN.B.4

Reella tal som är positiva skrivna på formen

 $r\left(\cos\ v\ +\ i\ \sin\ v\right)$  har

•  $v=0$  

•  $v=\pi$  

•  $v>0$  

Answer explanation

På den positiva x-axeln har vi inte roterat någonstans, därmed är argumentet 0

Tags

CCSS.HSN.CN.B.4

Reella tal som är negativa skrivna på formen

 $r\left(\cos\ v\ +\ i\ \sin\ v\right)$  har

•  $v=0$  

•  $v=\pi$  

•  $v>0$  

Answer explanation

På den negativa x-axeln har vi roterat  $180\degree$  , därmed är argumentet  $\pi$  

Tags

CCSS.HSN.CN.B.4

 $z\cdot r\left(\cos\ v\degree+\ i\ \sin\ v\degree\ \right)$  
Produkten av  $z$  med  $r\left(\cos\ v\degree+i\ \sin\ v\degree\right)$  får vi genom att

• öka/minska dess avstånd till origo  med faktor  $r$   och rotera det  $v$  grader motsols

• addera  $r$   till beloppet av  $z$   och multiplicera argumentet med  $v$  

Tags

CCSS.HSN.CN.B.4

Förklara varför det "mäjkar säns big tajm" att när vi multiplicerar ett negativt tal med ett negativt är produkten positiv med hjälp av reglerna för hur man multiplicerar komplexa tal i polär form ("öka/minska avstånd och rotera"- tanken).

Tags

CCSS.HSN.CN.B.4

När vi multiplicerar ett komplex tal med ett reellt tal, 

till exempel  $\left(3+7i\right)\cdot2$  

• ändrar vi bara komplexa talets belopp

• ändrar vi bara komplexa talets argument

• ändrar vi både belopp och argument

Tags

CCSS.HSN-VM.B.5A

CCSS.HSN-VM.B.5B

 $3\left(\cos\ \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\ \sin\ \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$  
Vilka två alternativ är samma tal?

•  $3\left(\cos\ \left(\frac{11\pi}{6}\right)+i\ \sin\ \left(\frac{11\pi}{6}\right)\right)$  

•  $3\left(\cos\ \left(\frac{\pi}{6}\right)-i\ \sin\ \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$  

•  $-3\left(\cos\ \left(\frac{\pi}{6}\right)+i\ \sin\ \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$  

•  $\cos\ \left(-\frac{3\pi}{6}\right)+i\ \sin\ \left(-\frac{3\pi}{6}\right)$  

Answer explanation

1)  $\frac{\pi}{6}$   bakåt  =  $\frac{11\pi}{6}$  framåt

2)  $z_1$  är det sökta talet, visst är cosinus samma som för positiv  $\frac{\pi}{6}$  och sinus har motsatt tecken:

   $3\left(\cos\ \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\ \sin\ \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$  

är samma tal som 

 $3\left(\cos\ \left(\frac{\pi}{6}\right)-i\ \sin\ \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$  

Tags

CCSS.HSN.CN.B.4

 $i^{29}$  
Vilken tanke hjälper till att räkna ut detta?

•  $i^{29}=i^{4\cdot7+1\ }$  

•  $i^{29}=i^{6\cdot5-1\ }$  

•  $i^{29}=i^{5\cdot5+4\ }$  

Answer explanation

 $i^1=i$  
 $i^2=-1$  
 $i^3=-i$  
 $i^4=1$  

Från  $i^5$  börjar vi om igen därför hjälper det att "skala av" multipler av 4.

Tags

CCSS.HSN.CN.A.2