Ma 4: komplexa tal

VIlka stämmer?

•  $z_1=2+3i$  

•  $z_1=3+2i$  

•  $\overline{z_1}=2-3i$  

•  $\left|z_1\right|=\sqrt{13}$  

•  $z_1\cdot i=-2-3i$  

Answer explanation

x-axeln ger  $Re\ z_1$  
y-axeln ger  $Im\ z_1$  

 $\overline{z_1}$  är konjugatet, alltså speglingen i x-axeln

 $\left|z_1\right|$  är beloppet, alltså avståndet till origo, beräknas med pythagoras sats

Multiplikation med i ändrar inte tecken utan roterar  $90\degree$   $z_1\cdot i=-3+2i$  

 $z\cdot\overline{z}$ 

• alltid reellt

• reellt endast  om  $Im\ z=\ 0$  

• alltid imaginärt

• reellt endast om  $Re\ z=Im\ z$  

Answer explanation

 $\overline{z}$  är z-konjugat, alltså speglingen i x-axeln
 $\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)=$  
 $=a^2-abi+abi-b^2i^2=$  
 $=a^2-b^2\cdot i^2=$  
 $=a^2-b^2\cdot\left(-1\right)=$  
 $=a^2+b^2$  
Så  $i$  försvinner alltid

Vilka stämmer?

•  $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$  

•  $\arg\left(z_1\right)=\arg\left(z_2\right)$  

•  $Re\ z_1=Im\ z_1$  

•  $z_1=z_2\cdot\left(\cos\ \frac{\pi}{4}+i\ \sin\ \frac{\pi}{4}\right)$  

Answer explanation

 $z_1$  och  $z_2$   ligger på samma avstånd från origo  $\Longrightarrow$  de har samma belopp

arg z står för argumentet, alltså vinkeln, de har inte samma vinkel

 $z_{1\ }$  har samma x- och y-koordinat  $\Longrightarrow$   $Re\ z_{1\ }=Im\ z_1$  

 $z_1$  kan man få genom att rotera  $z_2$   $45\degree$  i positiv riktning därmed stämmer även multiplikationen

Reella tal som är positiva skrivna på formen

 $r\left(\cos\ v\ +\ i\ \sin\ v\right)$  har

•  $v=0$  

•  $v=\pi$  

•  $v>0$  

Answer explanation

På den positiva x-axeln har vi inte roterat någonstans, därmed är argumentet 0

Reella tal som är negativa skrivna på formen

 $r\left(\cos\ v\ +\ i\ \sin\ v\right)$  har

•  $v=0$  

•  $v=\pi$  

•  $v>0$  

Answer explanation

På den negativa x-axeln har vi roterat  $180\degree$  , därmed är argumentet  $\pi$  

 $z\cdot r\left(\cos\ v\degree+\ i\ \sin\ v\degree\ \right)$  
Produkten av  $z$  med  $r\left(\cos\ v\degree+i\ \sin\ v\degree\right)$  får vi genom att

• öka/minska dess avstånd till origo  med faktor  $r$   och rotera det  $v$  grader motsols

• addera  $r$   till beloppet av  $z$   och multiplicera argumentet med  $v$  

Förklara varför det "mäjkar säns big tajm" att när vi multiplicerar ett negativt tal med ett negativt är produkten positiv med hjälp av reglerna för hur man multiplicerar komplexa tal i polär form ("öka/minska avstånd och rotera"- tanken).

När vi multiplicerar ett komplex tal med ett reellt tal, 

till exempel  $\left(3+7i\right)\cdot2$  

• ändrar vi bara komplexa talets belopp

• ändrar vi bara komplexa talets argument

• ändrar vi både belopp och argument

 $3\left(\cos\ \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\ \sin\ \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$  
Vilka två alternativ är samma tal?

•  $3\left(\cos\ \left(\frac{11\pi}{6}\right)+i\ \sin\ \left(\frac{11\pi}{6}\right)\right)$  

•  $3\left(\cos\ \left(\frac{\pi}{6}\right)-i\ \sin\ \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$  

•  $-3\left(\cos\ \left(\frac{\pi}{6}\right)+i\ \sin\ \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$  

•  $\cos\ \left(-\frac{3\pi}{6}\right)+i\ \sin\ \left(-\frac{3\pi}{6}\right)$  

Answer explanation

1)  $\frac{\pi}{6}$   bakåt  =  $\frac{11\pi}{6}$  framåt

2)  $z_1$  är det sökta talet, visst är cosinus samma som för positiv  $\frac{\pi}{6}$  och sinus har motsatt tecken:

   $3\left(\cos\ \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\ \sin\ \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$  

är samma tal som 

 $3\left(\cos\ \left(\frac{\pi}{6}\right)-i\ \sin\ \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$  

 $i^{29}$  
Vilken tanke hjälper till att räkna ut detta?

•  $i^{29}=i^{4\cdot7+1\ }$  

•  $i^{29}=i^{6\cdot5-1\ }$  

•  $i^{29}=i^{5\cdot5+4\ }$  

Answer explanation

 $i^1=i$  
 $i^2=-1$  
 $i^3=-i$  
 $i^4=1$  

Från  $i^5$  börjar vi om igen därför hjälper det att "skala av" multipler av 4.